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整数(せいすう、Integer)とは、0 とそれに 1 ずつ加えていって得られる数 (1, 2, 3, …) および 1 ずつ引いていって得られる数 (-1, -2, -3, …) の総称である。整数の全体からなる集合は普通、太字の Z または黒板太字の $\backslash mathbb$ で表す。これはドイツ語 Zahlen(数・複数形)による。

代数的整数と対比させるために、有理数の中で整なものであるという意味で有理整数と呼ぶこともある。

◆ 素朴な説明

自然数 n に対して加法における逆元 -n を導入し、これを負の整数とする。負の整数に対しても結合法則、分配法則等が成り立つように加法ならびに乗法を定義すると、整数は加法に対してアーベル群(可換な群)をなし、乗法に関しては可換なモノイドをなす。

つまり、整数は可換環である。くだいていえば、普通に足し算、引き算、それにかけ算ができるということである。この環は代表的なユークリッド整域である。

例えば次のことは、整数が環であることを用いれば証明できる。

:(-a) × (-b) = a × b

;証明

-a と -a' を a の逆元とすると、

: -a = -a + 0 = -a + = (-a + a) + (-a' ) = 0 + (-a' ) = -a' 。

∴ -a = -a' つまり逆元は一つだけである。 ここから -(-a) = a も言える。さらに、

: a × 0 = a × 0 + 0 = a × 0 + [外部リンク] style="color:#8888ff;">a × 0 + = (a × 0 + a × 0) + = a × (0 + 0) + = a × 0 + = 0 。

∴ a × 0 = 0 全く同様にして 0 × a = 0 も言える。

: a × b + (-a) × b = × b = 0 × b = 0 。

∴ -(a × b) = (-a) × b 。

:(-a) × (-b) + = (-a) × (-b) + (-a) × b = (-a) × = (-a) × 0 = 0 。

∴ a × b = (-a) × (-b) 。

;Q.E.D.

◇ 整数の分類

;正整数

:1 以上の整数のこと。自然数を 1 から始めると定義している場合には自然数と同じ集合となる(自然数に0を含める流儀もある)。

;負整数

:負の整数を参照。

;非負整数

:負整数の補集合。つまり、0 以上の整数のこと。自然数を 0 から始めると定義している場合には自然数と同じ集合となる。自然数を 1 から始めると定義している場合、0 を加える際に、しばしばこの表現が用いられる。自然数を 0 から始めるか、1 から始めるかの議論を避けたい場合にも用いられる。

;非正整数

:正整数の補集合。つまり、0 以下の整数のこと。

◇ 整数化

実数を整数化する関数としては床関数や天井関数などがある。

◆ 形式的な構成

自然数の全体 N は減法について閉じていないが、上ではそれを補完するものとして負の整数を導入し、整数の全体 Z を構成した。それと本質的には変わらないが、よく知られる方法としてここでは、減法を陽に持ち出さずに、自然数の加法と乗法のみから同値関係や商集合といった道具を使って、整数が形式的かつ厳密に構成できることを記しておく。以下の構成では、自然数には 0 を含まないという立場で記述しており、したがって自然数に 0 を含んでも含まなくてもどちらでも構わないことも注意していただきたい。

まず、直積集合 N² = N × N = を考えよう。以下では (a, b) = a - b のことであるとして読んでもらって構わない。途中で同値関係で割って商集合を作る部分が多少抽象的であるが、(a, b) = a - b だと思って読めば、単に差の部分に注目して数を取り出しているのだと納得されるものと思う。

N² に加法 + を

: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

と成分ごとの和で定義する。当然 N² はこの加法 + について閉じている。さらに少し恣意的ながら、乗法 × を

: (a, b) × (c, d) = (ac + bd, ad + bc)

で定める。また、N² の部分集合 R = を用いて、N² に同値関係 〜 を

: (a, b) 〜 (c, d) ⇒ (a, b) + (d, c) ∈ R

と定義することができる。ここで、互いに同値であるようなものを同一視する。厳密には N² を同値関係 〜 で類別した集合(商集合)N²/R を考えるのである。これは、互いに同値なもの全体の集合(同値類)を元とするような集合である。(a, b) ∈ N² の属する同値類を [外部リンク] style="color:#8888ff;">a, b ∈ N²/R と表すことにする。つまり、[外部リンク] style="color:#8888ff;">a, b は

: [外部リンク] style="color:#8888ff;">a, b = = ∪

となる集合である。同値類を [外部リンク] style="color:#8888ff;">a, b のように表したとき、(a, b) をこの同値類の代表元と呼ぶ。代表元は同値なものでありさえすれば他のものに取り替えることができる。

商集合 N²/R に加法 + と乗法 × を

: [外部リンク] style="color:#8888ff;">a, b + [外部リンク] style="color:#8888ff;">c, d = [外部リンク] style="color:#8888ff;">a, b) + (c, d) = [外部リンク] style="color:#8888ff;">a + c, b + d

: [外部リンク] style="color:#8888ff;">a, b × [外部リンク] style="color:#8888ff;">c, d = [外部リンク] style="color:#8888ff;">a, b) × (c, d) = [外部リンク] style="color:#8888ff;">ac + bd, ad + bc

と定義すると、これらは代表元の取り方によらずに、同値類同士の演算としてうまく定義されていることが確かめられる。

このとき、[外部リンク] style="color:#8888ff;">a, b + [外部リンク] style="color:#8888ff;">m, m = [外部リンク] style="color:#8888ff;">a + m, b + m = [外部リンク] style="color:#8888ff;">a, b だから、R は N²/R の加法に関する単位元である。また、自然数 m に対して [外部リンク] style="color:#8888ff;">m + 1, 1 を対応させる写像は単射で

: [外部リンク] style="color:#8888ff;">m + 1, 1 + [外部リンク] style="color:#8888ff;">n + 1, 1 = [外部リンク] style="color:#8888ff;">m + n + 2, 2 = [外部リンク] style="color:#8888ff;">m + n) + 1, 1,

: [外部リンク] style="color:#8888ff;">m + 1, 1 × [外部リンク] style="color:#8888ff;">n + 1, 1 = [外部リンク] style="color:#8888ff;">m + 1)(n + 1) + 1, (m + 1) + (n + 1) = [外部リンク] style="color:#8888ff;">mn + 1, 1

を満たす(準同型)ので N は N²/R に演算まで込めて埋め込める。記号の濫用ではあるが、自然数 m を埋め込んだ先と同一視して m = [外部リンク] style="color:#8888ff;">m + 1, 1 と書くことにし、これを(正の)整数 m と呼ぼう。

同様の埋め込みは、自然数 m に対して [外部リンク] m + 1 を対応させることでも得られるが和と積は

: [外部リンク] m + 1 + [外部リンク] n + 1 = [外部リンク] (m + n) + 1,

: [外部リンク] m + 1 × [外部リンク] n + 1 = [外部リンク] + (m + 1)(n + 1), (m + 1) + (n + 1) = [外部リンク] style="color:#8888ff;">mn + 1, 1

になる。自然数 m に対し、新たな記号 -m を [外部リンク] m + 1 を表すものとして導入し、これを負の整数 -m と呼ぼう。負の整数同士の積が正の整数になっていることが確認できる。

このとき、m + (-m) = [外部リンク] style="color:#8888ff;">m + 1, 1 + [外部リンク] m + 1 = [外部リンク] style="color:#8888ff;">m + 2, m + 2 = R だから、負の整数 -m = [外部リンク] m + 1 は N²/R においてはちょうど、正の整数 m = [外部リンク] style="color:#8888ff;">m + 1, 1 の加法に関する逆元になっている。R をあらためて 0 と書くことにして、N²/R = を整数全体の集合とよび、あらためて Z と書くことにしよう。

このようにして整数の全体 Z が厳密に定義されが、なお定義に従えば Z において結合法則や分配法則などの環の公理が満たされることがきちんと証明できる。

◆ 整数環のイデアル

互いに素な二つの整数 x, y に対して、ax + by = 1 を満たす整数 a, b が存在することはユークリッドの互除法などにより保証される。

このとき、x, y がそれぞれ生成する単項イデアル (x), (y) について

: (x) + (y) = Z

が成り立つ。

同様に、x と y の最大公約数が d のとき、ax + by = d を満たす整数 a, b が存在するので、

: (x) + (y) = (d)

が成り立つ。

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